Multiple sets exponential concentration and higher order eigenvalues

On a generic metric measured space, we introduce a notion of improved concentration of measure that takes into account the parallel enlargement of k distinct sets. We show that the k-th eigenvalues of the metric Laplacian gives exponential improved concentration with k sets. On compact Riemannian manifolds, this allows us to recover estimates on the eigenvalues of the Laplace-Beltrami operator in the spirit of an inequality of Chung, Grigory'an and Yau [11]

Characterization of Talagrand's transport-entropy inequalities in metric spaces

We give a characterization of transport-entropy inequalities in metric spaces. As an application we deduce that such inequalities are stable under bounded perturbation (Holley-Stroock perturbation Lemma)

The Logarithmic Sobolev Constant of The Lamplighter

We give estimates on the logarithmic Sobolev constant of some finite lamplighter graphs in terms of the spectral gap of the underlying base. Also, we give examples of application

MULTIPLE SETS EXPONENTIAL CONCENTRATION AND HIGHER ORDER EIGENVALUES

On a generic metric measured space, we introduce a notion of improved concentration of measure that takes into account the parallel enlargement of k distinct sets. We show that the k-th eigenvalues of the metric Laplacian gives exponential improved concentration with k sets. On compact Riemannian manifolds, this allows us to recover estimates on the eigenvalues of the Laplace-Beltrami operator in the spirit of an inequality of Chung, Grigory'an and Yau [11]

Principe conditionnel de Gibbs pour des contraintes fines approchées et Inégalités de transport

This thesis deals with two different subjects : Conditional principle of Gibbs type and transportation cost inequalities. In the first part of our work, we study the asymptotic behaviour of random measures, satisfying a large deviations principle, knowing that a rare event has occurred. Our aim is to study the case where the set defining the conditioning event is of probability zero. Our strategy is to progressively approximate this thin set by a sequence of larger sets. This approach, which requires exact controls of small probabilities, enables us to give a simple limit formulation of different conditional principles. The second part deals with transportation cost inequalities : one wants to majorize an optimal transportation cost by a concave function of relative entropy. Our goal is to put in light the links between these inequalities and Large Deviations theory. We show that transportation cost inequalities admit a dual formulation involving the Laplace-transform. Thanks to this property, we prove a general tensorization formula for transportation cost inequalities, which in turn yields deviation bounds for empirical processes. We establish also necessary and sufficient conditions for a large class of transportation inequalities.Cette thèse est consacrée à deux sujets distincts : l'étude des principes conditionnels de type Gibbs et celle des inégalités de transport. Dans la première partie de cette thèse, nous nous intéressons au comportement asymptotique de la loi de certaines mesures aléatoires satisfaisant un principe de grandes déviations, conditionnellement au fait qu'un événement rare s'est produit. Nous nous plaçons dans le cas, peu étudié, où l'événement considéré est de probabilité nulle. Notre stratégie consiste à approcher progressivement cet événement par une suite d'événements plus épais. Cette approche, qui nécessite des contrôles exacts des petites probabilités, conduit à une formulation en limite simple de certains principes conditionnels. La seconde partie de cette thèse porte sur les inégalités de transport : on cherche à majorer un coût de transport optimal au sens de Kantorovich par une fonction concave de l'entropie relative. Notre objectif est de mettre en évidence les liens existant entre ce sujet et la théorie des Grandes Déviations. Nous montrons que ces inégalités admettent une formulation duale en termes de transformées de Laplace. Grâce à cette propriété, nous démontrons une formule générale de tensorisation, laquelle entraîne à son tour, de manière quasi-immédiate, des inégalités de déviations pour les processus empiriques. Cette étude est complétée par la démonstration de conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une probabilité donnée vérifie une inégalité de transport d'un type assez général

MULTIPLE SETS EXPONENTIAL CONCENTRATION AND HIGHER ORDER EIGENVALUES

On a generic metric measured space, we introduce a notion of improved concentration of measure that takes into account the parallel enlargement of k distinct sets. We show that the k-th eigenvalues of the metric Laplacian gives exponential improved concentration with k sets. On compact Riemannian manifolds, this allows us to recover estimates on the eigenvalues of the Laplace-Beltrami operator in the spirit of an inequality of Chung, Grigory'an and Yau [11]

MULTIPLE SETS EXPONENTIAL CONCENTRATION AND HIGHER ORDER EIGENVALUES

On a generic metric measured space, we introduce a notion of improved concentration of measure that takes into account the parallel enlargement of k distinct sets. We show that the k-th eigenvalues of the metric Laplacian gives exponential improved concentration with k sets. On compact Riemannian manifolds, this allows us to recover estimates on the eigenvalues of the Laplace-Beltrami operator in the spirit of an inequality of Chung, Grigory'an and Yau [11]

Principe conditionnel de Gibbs pour des contraintes fines approchées et inégalités de transport

Dans la première partie de cette thèse, nous nous intéressons au comportement asymptotique de la loi de certaines mesures aléatoires satisfaisant un principe de grandes déviations, conditionnellement au fait qu'un événement rare s'est produit. Nous nous plaçons dans le cas où l'événement considéré est de probabilité nulle. Notre stratégie consiste à approcher progressivement cet événement par une suite d'événements plus épais. Cette approche conduit à une formulation en limite simple de certains principes conditionnels. La seconde partie de cette thèse porte sur les inégalités de transport : on cherche à majorer un coût de transport optimal par une fonction concave de l'entropie relative. Notre objectif est de mettre en évidence les liens existant entre ce sujet et la théorie des Grandes Déviations. Nous démontrons des conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une probabilité donnée vérifie une inégalité de transport d'un type assez général.In the first part of this thesis, we study the asymptotic behaviour of random measures, satisfying a large deviations principle, knowing that a rare event has occurred. Our aim is to study the case where the set defining the conditioning event is of probability zero. Our strategy is to progressively approximate this thin set by a sequence of larger sets. This approach enables us to give a simple limit formulation of different conditional principles. The second part deals with transportation cost inequalities: one wants to majorize an optimal transportation cost by a concave function of relative entropy. Our goal is to put in light the links between these inequalities and Large Deviations theory. We establish necessary and sufficient conditions for a large class of transportation inequalities.NANTERRE-BU PARIS10 (920502102) / SudocSudocFranceF